在小学数学教学中开展数学实验教学的实施策略

常州市教育科学研究院  潘小福

常州市实验小学        陈美华

当前的数学教学，尤其是小学数学教学，过分重视逻辑思维能力的培养，知识的学习运用过多以演绎的方式推进，过分强调以数学家的思维方式学习研究数学，以致很多正对知识充满好奇心和无限向往的孩子从小就害怕数学，学习数学的兴趣在起点阶段就被压抑。基于这一现象，在小学数学教学中开展数学实验，以丰富孩子的数学学习方式就显得尤为必要。那么，如何在小学数学教学中开展数学实验呢，下文将结合我们的尝试体验，从五个方面介绍我们的实施策略。

一、价值定位：认识数学实验的内涵意蕴

关于数学实验有很多的定义，至今没有统一规范的概念揭示。有的说数学实验是和化学实验、物理实验一样，借助一定的实验仪器达到直观效果和教学目的的一种教学手段，也有的说数学实验是通过借助一定的物质仪器或技术手段，指导和引导学生通过操作活动来学习和理解数学要概念、原理、公式等的学习活动……不管如何表述，数学实验的价值定位应该是非常清晰的，那就是通过数学实验使课堂教学转向以激发学生潜在能力为本，强调学生积极主动参与，丰富学生的学习方式，培养学生的思维能力、创新能力、解决实际问题的能力、动手操作能力，改进传统单一的理论教学方式，达到完成数学教学的目的，实现数学教学的目标。如何真正把握数学实验的内涵意蕴，作为教学主阵地的一线教师，也可以在这样一些概念的比照或关键词的体验中形成自己的认识。

1．在概念比较中清晰

首先我们认为数学实验区别于一般的操作活动或小学数学课程中特指的实践活动。操作是指人用手活动的一种行为，也是一种技能，含义很广泛。数学操作活动是小学数学教学在数学知识的抽象性和学生思维的形象性之间架起的一座桥梁，是学生根据教师创设的问题情境与教师提供的定向指导，通过动手操作学具探究数学问题、获得数学结论、理解数学知识的课堂教学模式。数学实践活动是指在教师的指导下，通过学生的自主活动，使其了解数学与生活的广泛联系，学会应用已有的数学知识去解决实际问题，通过与他人合作交流以获得积极的数学情感体验，从而全面提高学生素质的一种学习活动。可见数学实验与它们相比有主体性、直观性、过程性、目标性等相同点，但数学实验更上位，它是为促进理性思维，验证数学猜想，归纳数学规律，获得数学适应，解决数学问题，通过一定的方法，借助一定的设备，运用一定的手段，在数学思维活动的参与下和典型的实验环境中所进行的一种数学建构过程和数学探索活动。

2．在案例解读中体悟

一个科学的实验往往有七个探究步骤： 1.提出问题 2.猜想或假设 3.设计实验 4.进行实验 5.分析论证 6.得出结论 7.评估交流。当然各个过程不一定平均使力，可能有所侧重，但必须让学生实实在在经历实验探索过程。如四下的“三角形的内角和”一课，教者可以从引导学生观察熟悉的一副直角三角尺入手，初步计算发现这两个三角形的三个内角的度数和，进而引发了学生的猜想（提出假设）：是不是所有直角三角形的内角和都是180度？是不是所有三角形的内角和都是180度？在学生好奇心与探究欲被激发后，教师自然而然提问：这个猜想对不对呢？你准备怎么做？学生基于原有实验探究或规律发现的积累，即刻想到：我们可以举例验证。由于计算与图形的区别，教师此刻并没有立即放手，而是追问：你准备怎么举例验证？引出了实验方案的思考与设计（测量法、剪拼法）。随后于是独立自主的探究验证活动开始了。之后针对实验活动的动态过程，教师适时灵活地组织了三个层次分析交流。第一层次交流学生的个性化举例（有画一个直角三角形的或其它类型的一个三角形），方法上有量量算算的，有割补剪拼的，凸显方法的多样化与优化：你更欣赏哪一种方法？为什么？并进行数学化的优化：测量有误差，剪拼更合理。第二层次引发数学化的分类举例，指向感悟归纳法的思想。教师就当前交流的资源质疑：你怎么想到画锐角三角形？你怎么不止列举了一个三角形？学生一开始只是立足于尽可能多举例子的经验，老师抓住启动思维火花的契机：看来要验证关于内角和的猜想至少要研究几类三角形？把学生引入了第二次的更为深入的实验探究活动。交流时学生提交的丰富的三类三角形的作品再一次验证了自己的猜想，而教师的深层问题又将学生引入更上一层的思维境界：我们从三类三角形验证了自己的猜想，每人都有自己的例子，全班汇总又有了好几十个例子。其实数学家举例往往数以万计不厌其烦。今天老师这儿还有一个神奇的小软件，进入“学习资源”的“变与不变”试一试。学生自然而然进入了第三个层次“变与不变”探究活动。神奇的软件让学生拖动三角形的顶点，变幻出每一类的无数个三角形，观察右边一栏的三个角及内角和的度数显示，教师智慧地发问：现在你知道这个软件的学习资源为什么称“变与不变”了吗？鲜活灵动的感性积淀丰富了学生的表象，也自然地引发了学生数学化的提升：变的是三个内角度数，不变的是内角和始终是180度。至此三层实验探究活动的积累，老师方让学生进入归纳的认知阶段：我们刚才经历了研究独特的一个、两个三角形，到分三类三角形研究（各类中的有限个数），再到三类三角形的无限个数的感受体验，现在你们能得出什么结论了？逐层深入的活动设计组织，让学生亲历了知识的科学实验探究的过程，也深入体会了数学归纳法的思想。

这是比较规范的数学实验样式，但根据不同的教学内容及不同年龄段的学生，开展数学实验的样式也是多样的，有时，问题切口小，就不要求有这么高的思维容量，数学实验的过程就可简捷些。但需强调的是，数学实验都要从发现问题、提出问题开始，要让学生以问题为驱动展开实验。此外，数学实验得到结论后，要再分析与假设是否相符，要让学生体会到并不是所有的问题一次实验就能得到正确的结论，有时由于试验方法的不够完善，也会得出错误的结论。因此得出结论后，还需要对整个实验过程进行反思，有时还需再次展开实验过程，在螺旋上升式的实验研究活动中获得数学的理解。

3．在价值讨论中定向

叶澜教授提出课堂教学价值观核心理念是：当前我国基础教育中课堂教学的价值观需要从单一地传递教科书上呈现的现成知识，转为培养能在当代社会中主动、健康发展的一代新人。她尤其强调拓展学科丰富的育人价值；按育人价值实现的需要，重组教学内容；综合设计弹性化的教学内容。显见，叶老师的观点与数学实验之价值观内涵相通。有些课堂片面理解或追求课堂教学的有效性，希望在最短的时间内取得最大的“教学效率”而又窄化知识教学的价值。其实这是教育的短视行为，重知识轻能力，重结果轻过程。数学实验的价值更立足于追求数学能力、数学素养的提升与和谐情感的融入，更注重学生可持续发展，即育人的长远效应。

二、行动跟进：聚焦数学实验的基本特征

    虽然小学数学教学中的数学实验没有明确规范的定义，样式也多种多样，但是依据数学实验的价值取 向及实验教学的一般要求，我们不难把握小学数学教学中的数学实验的基本特征。

1．鲜明的教学目标

数学实验需要鲜明教学目标，凸现实验的教学价值。如上述“三角形的内角和”一课，我们制定了这样的教学目标“1.通过观察、实验等探究活动，让学生尝试发现和验证‘三角形的内角和是180度’的规律。2.在学生亲历实验活动的过程中，培养学生的合作能力、动手实践能力，发展学生数学推理能力、空间观念等。3.在实验活动中培养学生养成科学严谨的实验态度，激发学生主动学习数学的兴趣，体验数学学习成功的喜悦。”显见三维度的目标紧扣实验活动的过程展开，更侧重思想方法、学习态度、情感等过程性目标。

2．合理的实验设计

数学实验需要有合理的实验设计，而且有时可以让学生参与实验方案的设计，让方案更贴切有效。比如上述验证‘三角形的内角和是180度’的实验，可以设计如下实验方案：

研究“三角形的内角和”实验设计方案

这样的设计让学生思考有方向，活动有顺序，资源有积累，交流有资源，评价有依托，反思有提升。当然实验的设计有时不是合理完美的，有时因实验中发现的问题甚至错误，需要不断地修正重建，需要改进完善，而这个工作需要学生、教师或师生在实验经验的反思与积累中合作合成，后续实验活动的目标方向定位、实验操作规范、实验活动效率也会不断提高。

3．规范的实验操作

数学实验需要规范操作，帮助学生建构概念表象，形成独特的认知。如“认识毫升”一课，因为“毫升”是比较小的计量单位，所以感知有一定困难，为此教师设计了丰富的层次分明的加深体验的实验活动：感知1毫升的液体、感知10毫升的液体、喝100毫升的饮料等。而且各个活动的要求也有差异，如1毫升液体空间观念的建构，让学生经历“猜一猜、做一做、说一说”的猜想、验证并得出结论的研究过程，充分感受1毫升水大约是几滴。其中规范的实验操作要求细致，因为教师为每组提供了滴管、盛水容器、记录表，所以“做一做”中特别友情提醒：4人小组合作，一人滴水、一人数数、一人观察（刻度线）、一人记录。之后交换轮流实验，每人都经历不同的分工。如此规范的实验操作活动，降低了实验的盲目无效性乃至不必要的伤害事故与物品损耗等，让学生带着任务、带着问题去研究去探索，还渗透了严谨科学的实验态度的培养，同时促进了1毫升数学化空间观念与表象的建构。

4．数学化的分析

数学实验必然要经历实验观测的数据结果或现象的分析，以回应前面的猜想或假设。因此，数学实验分析要重视数学思维提升的过程。比如上述关于“1毫升水大约是几滴”的建构，四人小组每人估计与实际实验的数据基本不会有完全相同的，此时引导学生思考：每人的数据各不相同，到底听谁的？这个数据怎么确定比较合理？开放的学习环境让我们听到不同的声音，有说看看大致的数据，哪个最多（比如25滴最多），我们就说“1毫升水大约是25滴”；也有说找出最多的和最少的，我们就说“1毫升水大约是20滴到30滴之间”；也有人说出现次数最多的数很难找到，我们可以计算全班的平均数，然后把平均数填进去，即刻就得到了很多同学的拥护。显见学生自动地从模糊的估计发展为数学化的理性处理分析，更趋严谨科学。

三、反思调控：彰显数学实验的教学原则

    小学数学教学中的实验样式多样，不同的样式实施起来的具体要求会有所不同，但概括起来，必须遵循以下的教学原则。

1．基于儿童，丰富学习方式

数学实验应根据儿童需要、教学内容特点等要素，应地制宜，创造性的开发设计。可以涉及数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与应用各大领域，但不能为了体现数学实验的重要性将其强硬地塞到每节课中，让教师一窝蜂的赶热闹。任何事物的发展都有其自身特点规律，我们要重视，是基于儿童学习的需要，是基于儿童发展的立场。

2．面向全体，完整经历过程

基于数学实验的数学教学要让每一个学生都完整经历数学实验过程，不能只有部分优秀生“完整经历数学实验过程”，以包办代替部分后进生的体验与感受，也不能让不同的学生经历实验的不同部分，然后再“拼接”形成一个全班式的完整的实验过程。因此，面向全体就是要让每个个体经历完整的实验的各个部分，每人都获得自己独特的感受体验与收获思考。比如认识三角形（三边关系），尽管是分组活动，但实验工具（小棒）、观察记录表等必须人手一份，各自有体验再在小组交流分享。如今的课堂实验虽有合作，但一般不再提倡比如一人负责围三角形、一人负责记录……这样的要求。这种不利于个体全程体验参与的分工合作要求往往表面热闹流于形式缺乏独立思考的空间。如上面案例中通道的体验1毫升水的多少，即使有分工合作，也是小组内交换4次，力求每人都有各个步骤的体验与发现。其实课堂教学实践已经告诉我们，当你以合作为名剥夺他参与实验活动的某一部分时，他会在小组里极力争抢着去经历这个过程，尤其是实验的核心部分，否则学生会懒洋洋的如旁观者难以积极融入，失去对这个实验的强烈兴趣与参与感。这也印证了苏霍姆林斯基的一句话“人的内心里有一种根深蒂固的需要——总想感到自己是发现者、研究者、探寻者。在儿童的精神世界中，这种需求特别强烈。”因此我们教学中不可以为了节约时间而省略学生完整过程的体验，本质上偏离数学实验教学的目标。

3．融入思维，提升综合素养

数学实验一定是带着问题，边做边思，边思边做的，是内思与外动有机结合的动静交融的过程。如在“认识长方体”一课中，在学生通过观察比较等活动初步认识长方体特征后，我们还设计了“做长方体”小组实验活动（老师给提供了插棒的圆球与1号、2号、3号、4号四种长度的小棒）。做之前、之中、之后都带着思考讨论的问题：①你们领用了哪些材料？为什么？②你们是怎么拼搭的？为什么？③你们通过做长方体又有了什么的收获？我们会发现学生开始会根据初步的特征认识选三组不同长度的小棒进行拼搭实验，之后他们又有了创新质疑的愿望，选2种甚至一种长度小棒，拼搭出特殊的长方体乃至正方体，甚至有同学选四种长度的小棒，拼搭出了似大坝的四棱台形状，以反例证明不完全具备长方体特征（如有几组相对的4条棱没有互相平行、或交于一个顶点的三条棱没有两两互相垂直、或有几组相对的4条棱长度不相等等）的物体虽也有8个顶点、6个面、12条棱但也不可能是长方体。从材料的选择、材料的运用到之后的反思，数学思考、质疑创新、合作分享、情感体验自然地融入了这个实验活动的全过程，学生综合素养的培养不再游离课堂之外。

四、策略提升：架构数学实验的组织方式

一般而言，由数学实验过程的内容涵盖面的大小与操作的复杂程度等，可以将数学实验分成观察比较式、探究归纳式、实践操作式、规律研究式等几种，当然，这样的划分也不是绝对的，中间可能有相互的交叉渗透，我们只是根据实验过程个性化特征凸显的鲜明性进行一种分类的尝试。

1．观察比较式

有些实验需要对实验对象进行一定的观察比较与适当的思考判断、验证推理，就可以有一定的发现，过程相对简单易行。如在整小数思则运算的教学中，我们常常相机渗透一些小型的观察比较式的实验。如右边系列的加法式子，要求学生：1.算一算，比一比，你有什么发现？（实验记录：加数有什么特点？和有什么特点？加数与和之间有什么关系？）2.想一想，写一写，还能写出这样的式子吗？（任意写出两到三个式子）。3.想一想，说一说，怎么会有这样的规律呢？通过学生全体参与，观察比较，计算推理等活动，他们在实验中不仅发现数式的特征，还化数为形，有了规律的深刻理解，有了经验的生成积累。

观察比较式实验的实施流程为：

这类实验，可以帮助学生从实验素材即系列化的数式或图形等现象观察比较中发现内在联系与本质特征，并能从不同角度解释特征或成因，最终获得数学的深刻理解与拓展运用。

2．探究发现式

在小学阶段，尤其是图形与几何领域，我们经常会让学生经历计算公式的再创造过程，即通过实验探究发现一些平面图形与立体图形的面积或体积的计算公式。例如“长方体与正方体的体积”一课，教材安排了两道例题，其实就是两个相互融通的大实验。通过教材解读与开发利用，我们可以放大例9是开放性的要求，通过任意拼摆，与数据的观察比较，得到自己对体积计算公式的猜想与假设，进而将例10（教材提出：“用1立方厘米的正方体摆下面的长方体，要多少个？先想一想再摆一摆的要求”）作为进一步的验证活动。例10课本并未提供记录表格，因此实验数据记录表格可以放手让学生参照例9自主设计，甚至让学生丰富举例外延，不仅是教材上三个指定长宽高的长方体，还可以是自己编创一个不同的长方体。让学生在自主拼摆的过程中释放创造性思维的火花。实验交流的反馈中，我们发现例10的实验，有的同学是在拼搭后强化了自己的发现，也有相当部分同学是先根据自己的假设计算出体积，再以相应的拼摆来检验自己计算的数据正确与否。正逆向的实验操作与思考探索，充实了实验发现的思维含量，也在共享中内化了数学归纳的思想方法.

探究发现式实施流程可以见右图：

这一类实验大多是贯穿课堂的大实验，其思考探究的空间大、时间长。学生参与面广，从独立思考、同桌互助到小组合作或组间合作，学习形式丰富多样，学生充分经历探究发现的过程，获得的理解尤为深刻，方法思想的后续迁移广泛而灵动。

3．实践操作式

很多实验都离不开实践操作，如上述公式推导。当然有些探究发现式的实验有时是转化前后关系的逻辑推理或数式计算中的推理发现，不一定都有实践操作的成分。而此处实践操作式的实验活动，更具实践操作的鲜明特征，并且学生一开始对问题主体答案的猜想或假设不够明确，没有明显的依据来支撑学生的判断与假设，必须通过一系列的实践操作的观察，通过数据的记录分析，逐步清晰明了。有一些实践活动可以归为这一类实验，进行实验的程序设计，如“大树有多高”“蒜叶的生长”等。值得一提的是数学教材的再版增设的“动手做”内容，很有实验开发的价值。比如六上分数除法单元后62页的“动手做”（见图），作为课本“你知道吗”黄金比的延伸内容，我们可以进行小实验的设计与实践尝试。参照教材活动线索，我们可以将之细化为“画一画——找一找——量一量——填一填——算一算——比一比——想一想——说一说”（实验方案中每一环节还有细化要求）八个步骤。

实践操作式的实施流程见图：

这一类实验，侧重实践操作，同时在操作中有思考有发现。在经历动手实践、手脑并用的过程中，自己的发现逐步从模糊走向清晰，终于获得成功的惊喜。在此处黄金比的发现是一种惊喜，是一种数学化的提升，同时还引发学生对生活或数学中更多感觉着“完美”的几何图形中相应线段的比的比值的猜想和进行实验探究的欲望。

4．规律研究式

这一实验往往运用于数与代数领域，在数式运算中探索存在的规律，如和差积商中各部分间存在的变与不变的规律；加法、乘法中的运算律，减法、除法中的运算性质；分数、比与比例的基本性质等。我们不能把数学实验局限于物化的实践操作，内在的数式运算的规律研究的过程其实也是一种特殊的数学实验，因此我们特地划分了规律研究式的实验活动。例如“乘法交换律、结合律”的学习，老师以“大家能像探索加法中的运算律一样来猜想乘法中可能存在的运算律，并通过数学实验验证你们的猜想呢？”引出了自主实验研究的要求： 1. 猜想乘法的运算律，设计实验报告；2. 研究验证自己的猜想，完成实验报告；3. 小组交流实验报告，准备全班交流。基于加法运算律的基础，学生可以自主性设计出如右图的实验报告，并有序展开实验研究活动，享受收获的成功与愉悦。

这类实验的实施流程如图：

这一类规律研究式的实验活动与探究发现式相似，贯穿于课堂核心环节，占据课堂前二十分钟左右的重要时段，是大实验常见的教学研究方式。学生思维高度紧张，整个学习活动彰显科学研究的一般过程，是数学思维容量较大的实验模式。

五、资源建设：拓展数学实验的运作空间

    数学实验或许会因为场地人员时间等客观条件的限制，但只要积极投入、拓宽思路，即能寻找到合适的办法。

1．人力资源：动员师生全员参与

首先，我们注重人力资源的开发，让每一个教师、每一位学生都参与其中。所谓边建边研，即在整体上倡导老师在建设中研究，在研究中建设。尤其是实验素材的开发，不仅教师主动参与，学生作为学习的主体，也可以积极主动参与其中，不断开发积累鲜活新颖又科学高效的实验素材。如三年级认识轴对称图形后，可以让学生自己创作一些轴对称图形，既是本届学生的实践活动的考评作业，又可以作为下一届学生研究轴对称图形的课堂实验素材，丰富多样的素材资源不仅免去教师每次课前准备众多实验素材的辛劳，也拓展了研究的层面。再如，在四年级认识三角形（三边关系），教材给定了几种长度的小棒让学生围三角形，还刻意避开了两边之和等于第三边的情况，实施下来老师们都觉得不够合理。于是我们老师就提出不要给定若干根确定长度的小棒围三角形，可以把给定总长的小棒让学生任意折三段（每段设定为整厘米数）去围一围，看看哪些情况下可以围三角形？哪些情况下不能围三角形？感觉这样的实验活动思考空间更大，更有实践性创造性，也能调动学生参与热情。那么，我们就可以根据师生需求来改造创建大家心中理想的实验素材。这样全员参与不断研究开发的实验教学过程，也是不断创造、生成与积累的过程。

2．物质资源：充分利用每个空间

    数学实验需要物化的场地，即实验室。但当因客观条件制约，没有实验室时，也可以灵活机动地创造条件，让我们的每一班级的教室、教室边上的走廊过道、体育活动的场地、学生的图书室等变成开放的数学实验室，摆放一些数学常用的工具，陈列一些学生的数学实验成果，摆放一些装有数学常用软件的电脑，供学生开展数学活动，进行数学实验。只要做个有心人，站在课程的高度整体策划思考，可以说哪儿有学生，哪儿就可以看作数学实验室，让做数学的精神、玩数学的智慧弥漫其中。

3．时间资源：有机结合课内课外  

    数学实验的时间也可以灵活开放起来，不只是局限在数学课堂的40分钟，完全可以课内外结合、校内外结合。如五下统计单元的“蒜叶的生长”，要求人人参与，前期的参与实验活动的观察记录及统计图的制作都可以在家里进行，最后各自的记录表、统计图，自己的收获与问题反思等在课堂交流分享，甚至可以以数学日记、数学小报等形式分享自己实验所得。这样系列化参与的实验过程，更能强化实验成功的体验。试想，也许日后他就会自行设计类似的实验，进行系列化的跟踪研究活动，并乐此不疲沉醉其中，为自己的创造性发现发自内心的激动自豪。