小学数学实验教学的原则、内容选择与教学策略

                  常州市教育科学研究院  潘小福

                  常 州 市 实 验 小 学  陈美华

    【摘要】随着课程改革的日益深入，小学生数学学习方式的丰富也成为课堂变革的重要标志。数学实验作为一种学习方式融入小学课堂，已成为一种普遍的趋势。经过阶段性的实践探索与理性思考，关于数学实验的遵循原则、内容选择、教学策略正在形成共识。大家期待数学实验能在实验教学原则的指导下、在合适内容的选择开发中、在教学策略的聚焦下，不断提升实施效果，更好促进学生的可持续发展。

【关键词】数学实验 内容选择 策略聚焦

小学阶段的数学实验是为促进理性思维，验证数学猜想，归纳数学规律，解决数学问题，通过一定的方法，借助一定的设备，运用一定的手段，在数学思维活动的参与下和典型实验环境中进行的一种数学建构过程和数学探索活动。正如G.波利亚曾指出“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；另一方面，创造过程中的数学，却像一门试验性的归纳科学”。数学实验正是为了更好突出小学阶段数学学习直观生动、富有创造性的一面。为此，我们在实践中努力把握实验教学的原则，选择或开发适切的实验教学内容，并精心设计组织实验活动，放大实验教学于学生素养发展的积极作用价值。

一、小学数学实验教学的遵循原则

小学阶段的数学实验是区别于一般的数学操作活动或小学数学课程中特指的实践活动的。正因如此，它不仅有明确的实验目的、合理的实验设计、规范的实验操作、数学地数据分析与数学的结论表达等鲜明特点，还必须遵循以下原则：

1.问题导向性

数学实验需要有明确的目标，而目标往往是以问题作为外显载体的，问题导引着实验研究的内容与方向。如《三角形的内角和》一课，老师由两块特殊的三角板即直角三角形的内角和引发学生的猜想：是否所有三角形的内角和都是180度呢？因这个开放性导向性的问题，驱动学生尝试运用实验素材即不同类型的一般三角形研究验证一般三角形内角和的特点。所以富有启发性的、开放性的问题是实验前需要厘清的首要任务。

2.全员参与性

外交部李肇星曾说过“多样化的文化是世界进步的原动力”。课堂学习也是如此，没有全员参与，就不会有多样化的生成与分享。因此数学实验活动中，参与实验的主体应该是全体学生而非教师。有人认为教师的实验演示有时也可以默认为是学生共同经历的实验，笔者是反对这种观点的。因为教师的示范不能替代学生的主动参与，仍然是被动观看，本质上还是教师告知式的，而非学生通过亲身体验亲自去建构自己的知识意义与结构。因此实验活动很重要的原则之一就是要学生全员参与实验活动的过程，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，是以体验经历为价值取向的数学学习方式的丰富，是数学“四基”中对“体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验”的过程强化。

3.分享合作性

数学实验很重要方面是凸显合作性。很多实验的开展仅靠一个人独立操作研究是较难完成的，所以实验活动中学会分工合作、交流分享就成了学生必不可少的一项素养。如四年级《可能性》一课，围绕“摸到哪种球的可能性大？你的猜想是否正确？”这个引领问题，教师就灵活地设计这样几个适切的实验活动要求：①议一议：小组四人准备怎样分工？②做一做：摸球四十次，将摸球的结果记录表中。③说一说：观察表格中的数据，符合你们的猜想吗？在学生读完要求后，就第一个问题先讨论，之后选两组代表说说分工情况，我们发现学生确实具有合作分享意识，如他们都想参与摸球活动，于是先确定每人摸球10次。然后又将任务分解为四项：一人摇袋子、一人摸球说颜色、一人记录、一人数次数。每满10次就交换各人的任务，如此下来正好四项任务都经历体验过了。这样实验活动的开展有序而高效，不存在无效的争吵导致的时间浪费。同时学生的谦让合作精神在无形中得到强化，也会迁移于后续类似的探究活动中。

4.自主体验性

数学学习活动的本质是思维的参与，如弗赖登塔而所述是让学生经历知识的再创造过程。因此实验活动的体验尤为重要。因此除了问题引领，还有两个要素：一方面教师要提供物化的实验素材，另一方面要有充分探究时空的保障。如《认识长方体》一课，在让学生初步观察发现长方体具有相对的面完全相同、相对的棱长度相等的特征后（也就是猜想），设计了让学生用小球（顶点）、小棒做长方体的实验活动，以验证他们的猜想。如果只是一组只有一份材料，学生的参与面参与热情与思维空间就会受到限制，有可能成为部分优等生的垄断。所以为每个学生准备一份可以完整经历从选材到搭建再到反思这一过程是非常重要的，这将成为学生个性化活动参与和智慧生成的依托与保障。如果教师为了省事省时，忽略实验素材的完备性，这将导致个性化创造性的扼杀与动态生成的多元化可分享资源的流失。

二、小学数学实验教学的内容选择

    数学实验作为学习方式的丰富引入，并不是所有的内容都适合实验教学。因此要更好实施实验教学，内容选择是重要基础。基于阶段实验研究的思考，我们厘定了这几方面适于实验教学的内容选择：

1．基于教材的创编性实验活动

实验教学的内容绝大部分源于教材，因为数学实验并不是让教师脱离教材另搞一套全新的学习内容。但小学数学教材不管是问题的提出，还是学习活动的设计，包括小卡通的提示语等等，都有自己特有的编排逻辑。如平行《四边形的面积计算》中教材呈现了三个例题，例1是由两个不规则图形面积大小的比较渗透割补平移变为规则图形的转化思想；例2是基于转化思想让学生思考平行四边形沿高割补平移成长方形的两种方法；例3是在方格纸上三个图形与三个直接性问题的驱动下推导平行四边形的面积计算公式。显见学习活动的推进方式与实验活动的设计与展开是有差异的，所以我们有时候需要对一些适合进行数学实验教学的内容进行“实验化”的改编重组。所谓“实验化”的改编重组，即将实验活动需要遵循的原则渗透于实验活动设计之中，让学生在具有物化操作材料的前提下，带着问题、带着实验设计的方案等开展实验研究活动，最后进行实验结果的数学化分析提升。

2．延伸教材的拓展性实验活动

有一些内容不完全是教材的教学内容，而是经过加工的基于教材主题拓展的内容。比如可以是一道操作性、综合性较强的思考题或“动手做”内容的延伸。四上“动手做”的《用三角尺拼角》，是教材上的内容，也是《数学实验手册》上的内容，我们可以将其进行放大化的实验教学处理，第一层次让学生实验研究：同样一副三角尺，可能拼出多少种大小不同的角呢？在学生有序拼角填写记录单后，解决的不仅是角的种数，还适时引发求和或求差的思维方法的聚焦提升。之后进入第二层次的深化实验研究：观察拼成的角你有什么发现？让学生自主将无序的度数进行有序排列，发现这些角的度数是以15度递增（或都是15倍数），进而思考为什么会这样呢？将学生的思维由浅表引向纵深，进行数学化的分析思考。类似这样基于教材的拓展性实验活动还有很多，不一一例举。

3．整合教材的主题性实验活动

除了上述两种最常见类型的数学实验内容外，还有一类是基于数学学科知识的综合又有跨学科知识整合的主题性实验活动，是基于校本化课程建设的实验活动开发。如在五下学生学完《圆》一单元后，可以设计《车轮为什么是圆的》这一主题性实验活动。为深化这个主题实验的研究，学生基于自己思考与小组讨论后又可以将这个大问题分解聚焦为几个可操作实验的小问题：①车轮如果不是圆的在平地上行驶会怎样？②车轴一定要装在圆心吗？③方形车轮是否也能平稳行驶？基于学校已有数学实验室的设备条件，学生分成了这样一些实验组：（1）实物操作组（2）模拟操作组（3）3D打印组（圆形车轮、正方形车轮、正三角形车轮）（4）方轮体验组（5）电脑演示组。并且由“准备怎样开展实验研究？”自主设计实验方案，讨论形成共识基础上明确实验活动的要求：①组长组织讨论准备怎么进行实验并合理分工；②根据实验方式选择合适的器材进行实验；③实验完成之后填写实验研究单。

主题性的实验活动既有本学科知识的灵活运用，还涉及跨学科知识，指导教师可以不只是一位数学老师，可以相应聘请其他学科教师协同参与指导。同时时间也可以由课内延伸课外，地点可以由校内延伸校外，充分发挥各种教学资源的功能，让学生感受数学与其它学科、与生活是紧密联系互生共长的。

三、小学数学实验教学的策略探讨

   基于数学实验的丰富内容选择，数学实验教学的策略也是灵活机动，我们可以根据学习的内容特点，同时也可以结合学生认知规律与学生特点，因地制宜设计组织实验活动。

1．基于问题解决展开数学实验

数学实验需要有开展研究的导向性问题，如果一个数学实验就是清晰明确地解决一个问题，即基于物化材料的基础上解决一个真实问题的解决。如五上《解决问题的策略——一一列举》，我们就可以设计一个基于问题解决（怎样围面积最大？——学生猜想：长与宽最接近面积最大）的数学实验，老师为每两人一桌提供实验操作的物化材料：代替22根1米长栅栏的22根小棒，画出不同围法的方格纸等材料。同时出示实验活动要求与实验记录单。①围围画画：用22根小棒围一围，并把你们的围法画下来；②算算填填：算出各种围法的面积，填在实验记录单里；③比比说说：比较记录的数据，说说你们有什么发现。学生主体通过充分的拼搭（也有部分学生拼搭几个后直接推理）与表格数据的数学化分析，直指目标解决了问题：长6米、宽5米的长方形面积最大，当然也伴随着规律的发现：周长不变，长与宽越接近面积越大，并由此过程体悟一一列举的解题策略。像上述这样解决问题的实验活动只是整个课堂教学的一部分，也可以称之为解决问题的一个小实验，并不需要贯穿整堂数学课。

其实，在现有教材的很多新授内容核心环节的问题解决，或是习题中的解决问题，都可以开发并设计为一个一个有物化材料支撑的数学小实验，让学生在实验中感悟解决问题的策略，验证数学问题的猜想，探索表面现象中蕴藏的规律，并充分体验到自主探索、动手实践、合作分享、交流思辨的乐趣。

2．基于研究方法推进数学实验

所谓结构性地推进数学实验，即实验活动呈现“特例→类推→一般化”的结构化特征贯穿整堂数学课。这类实验有更强的后续迁移性，对学生能力要求稍高，适于学习基础较好的学习对象，一般中高年级可以尝试实践。如五上“平行四边形的面积计算”，面积公式的推导就可以设计成一个结构性实验：第一层次，让学生由方格纸上一个平行四边形与转化成长方形的特例引发计算公式的猜想性实验；第二层次，让学生操作转化教材提供方格纸上3个例子，进行计算公式类推的验证性实验；第三层次，不带方格纸的任意平行四边形与转化成长方形进行计算公式的一般化实验推理。正是这样的结构性数学实验的过程经历，后续平面图形如圆的面积公式、立体图形的体积计算公式的实验研究也有了基础，同时也能迁移到其他一些数学规律的探究发现之中。

再如六年级下册“面积的变化”，是一个蕴含探索规律的实践与综合领域的学习内容，教师将教学内容与教学活动进行了结构化的实验活动设计，为学生创建了两次经历数学实验活动的机会。如“实验活动一要求： ① 画一画：任意画一个长方形，再画出按3∶1放大后的长方形。②算一算：算出长方形放大后与放大前长的比、宽的比。③ 想一想：你还能想到长方形放大后与放大前哪些量的比？④ 比一比：观察表格中的数据，你有什么发现？” 其中要求③的适当留白有了更开放的思考空间，很好激发了学生自主探究创造的热情，学生很自然联想到了周长与面积放大后与放大前的关系，并由此特例引发规律的猜想，激起第二、三次类推与一般化实验活动。“实验活动二要求：①量一量、算一算：测量计算给定的3个图形，填写下表。②想一想、画一画：想想是否有反例，自己任意画一组图形计算验证。③比一比、说一说：比较表中数据，你的猜想正确吗？”这里将教材三个例子作为类推验证实验，而自己任意画一组图形的验证既是寻找反例的实验，同时也是进行规律的深层次一般化验证探究的实验活动。而这个结构性实验研究方法也在本课课尾立体图形的棱长与体积变化规律的延伸思考中得以迁移孕伏。经历这样的结构性实验活动，其最大优势就是让我们看到数学实验为学生带来了什么样的变化，即学生素养的整体提升，尤其学生学力的可持续发展。

3．基于探究深化生成数学实验

在适合实验教学内容实施的过程中，还有一种如俄罗斯套娃的实验套实验的操作范式，即在原有问题解决的实验基础上再生出新的小实验的过程，几个实验一环套一环彼此紧密相连，是学生思维向纵深发展的实验研究活动，可以看作实验教学的又一种策略。

如《周长是多少》的一堂数学实验课，教师由问题“用6个边长1厘米的正方形来拼成不同的图形，大家猜一猜，它们的周长会相等吗？”引发了学生可能相等、可能不相等的两种不同猜想，并在共同从切磋探讨中形成了实验设计方案：①做一做：用6个边长1厘米的正方形拼成不同的图形；②算一算：算出每个图形的周长，填写在实验记录单上；③比一比：比较各图形周长，说说你的猜想是否正确。基于实验1即右图的反馈作品，学生既解决了教师提出的问题，也验证发现自己猜想的偏颇，并适时调整了验证后的结论：用6个边长1厘米的正方形来拼成不同的图形，周长可能相等，也可能不相等。

但实验活动到此并没有点上句号。学生自己开始了新的思考：既然正方形的数量相等，周长怎么会有这两种可能呢？于是自然而然进入了新生成的实验活动： ①猜一猜：周长的多少可能与什么有关？②排一排：把几个周长相等（或不相等的）图形排在一起观察比较。③说一说：你的猜想是否正确？第二次的实验研究活动便有了如左图整合上述实验作品的整体性实验研究活动。甚至还有学生尝试补充更多例子进行观察比较，让自己的实验活动更有说服力。学生在猜想验证的基础上，又有更深入的规律发现：公共边越少（或越多），周长就越长（或越短）；公共边一样多，周长就相等。

这种嵌套式的实验，往往首先是指向解决一个数学问题，而在通过实验的方式解决问题之后，学生不满足于问题解决的表面，还想追踪问题解决背后的隐藏的原因或规律，于是生成深入化的小实验，这样的一个实验基础上生长新实验的过程能让数学学习活动更丰盈，思维活动更有张力，不仅促进了学生积累活动经验，也是直指学生科学精神、批判性思维等核心素养的发展。

4.基于课内外结合开展数学实验

依据数学实验内容的特点，有些主题性的实验不是一个简短小实验，也不是贯穿整堂课的大实验，而是需要课内外结合的、贯穿几节课或几天的一个长程化实验。其实施策略是递进性阶段性渗透融合于较长时间的教学过程。

如六年级上册《百分数》单元后“整理与练习”里的“探索与实践”第14题（即六上《数学实验手册》的实验9 《种子的发芽率》），我们课中开放性地提出了实验活动要求：①每位同学在家里做《种子的发芽率》的数学实验，建议用两种豆子做实验，可以先猜想一下哪种发芽率高一些；②实验所需的工具材料可以申请家长帮忙；③用你喜欢的形式记录并计算相关实验数据与得到的结论；④将实验观察的过程用数学日记、小论文或PPT等作品形式进行全班交流；⑤上网搜寻了解这个实验在生活中的意义。任务布置两周后，精彩纷呈的实验分享课就诞生了：有的同学以白描日记，真切地体验生命成长的过程；有的同学以拟人记叙，生动地描绘跃然眼前的生命律动；有的同学以图表记录，科学地进行数学化的分析聚焦；有的同学以对比溯因，真诚地反思数学实验的科学态度……

不妨观察几幅学生PPT成果展示分享的图片，我们可以真切地感受学生实验中的成长韵律：

长程化地递进数学实验，从课中、课后（也是课前），再回到课中，师生都真切地感受了数学实验的鲜活过程与独特魅力。同时从作品的分享中，我们也能深刻地感悟，实验研究的过程也是培养学生综合运用能力、自主学习能力、研究发现能力、创新思维能力、合作分享能力的过程，凸显了发展学生核心素养的主旨。